Первый тур дистанционного этапа
олимпиады имени Леонарда Эйлера
1. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причём 5/9 улова первого
рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго — окуни. При этом первый поймал столько же карасей,
сколько второй, и столько же окуней, сколько второй. Сколько щук поймал первый рыбак и сколько
— второй.
2. По кругу стоят 22 человека, Каждый из них — рыцарь (кото- рый всегда говорит только правду) или
лжец (который всегда лжет). Каждый из них произнес фразу: «Следующие 10 человек по часовой стрелке
после меня — лжецы». Сколько среди этих 22 людей лжецов?
3. Дан равнобедренный треугольник ABC (AC = BC). На сторонах BC, AC, AB отмечены точки A₁, B₁ и
C₁ соответственно. Оказалось, что С₁B₁ перпендикулярно AC, B₁A₁ перпендикуляр- но BC и B₁A₁ = B₁C₁.
Докажите, что A₁C₁ перпендикулярно AB.
4.Можно ли разбить числа от 1 до 100 на три группы таким образом, чтобы в первой группе сумма
чисел делилась на 102, во второй группе — на 203, а в третьей группе — на 304?

Университетская олимпиада школьников «Бельчонок» 2017-2018 г. Заключительный этап

Математика. 7 класс

1 вариант

Работа рассчитана на 120 минут.

Максимальная оценка за каждую задачу – 20 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Лена купила два мотка шнура для вязания ковра. В одном мотке м шнура, в другом – м. Как Лена может отмерить м шнура, не пользуясь измерительными приспособлениями?
2) Каждый год марта в городе проходит перепись населения. В году население увеличилось по сравнению с годом ровно на . В гг. прирост населения каждый год тоже составлял ровно , причем по данным переписи года в городе проживало не более человек. Сколько человек жило в городе марта года?
3) В заданном натуральном числе стёрли какую-то одну цифру и получили другое число. Затем из первоначального числа вычли полученное, в результате разность оказалась равной . Найдите заданное натуральное число.
4) На стороне выпуклого четырёхугольника отмечена такая точка , что и . Известно, что диагонали и пересекаются в точке , причём . Докажите, что .
5)Вася записал на доске числа . Из этих чисел он за один ход выбирает любые два и и записывает вместо них число. Какое наибольшее число может остаться на доске после -го хода?

Международные соревнования «Интернет-карусели» Карусель-кружок. Математика 5–6
2023–2024 учебный год
Блок 7. Обратный ход
Подготовительное занятие
Задания
• Домашнее задание Пети состояло в том, что данное учителем число он должен был сначала поделить
на 13, затем результат увеличить на 4, получившееся число умно- жить на 7, а из результата вычесть
8. Петя правильно сосчитал результат, получив
69. Какое число было дано Пете учителем для этого задания?
• Решить уравнение ((???? : 2 − 3) ∶ 2 − 1) ∶ 2 − 4 = 3.
• На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на двадца- тый день всё
озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами поло- вина озера? А четверть озера?
1. В пакете лежали конфеты. Маша в первый день недели съела 1/7 часть конфет, на следующий день —
1/6 часть остатка, потом — 1/5 часть остатка, …, в субботу — 1/2 (половину) остатка, а в
воскресенье последние 5 конфет. Сколько конфет было в па- кете с самого начала недели?
2. Торговец шел на рынок через трое ворот. Каждый раз за проход через ворота у него забирали
четверть имеющихся у него денег. На рынок торговец вошел с 54 моне- тами. Сколько монет было у
торговца в самом начале?
3. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка
впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с
Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли
сами выта- щить Репку?
4. Алиса тайком купила себе пакет с конфетами и спрятала его под подушку. Каждый вечер она съедала
треть имеющихся в пакете конфет и еще 2 конфеты. В остальное время она эти конфеты не ела, а
находила конфеты на кухне. На четвертый вечер она заглянула в пакет и обнаружила, что там осталось
только две конфеты. Сколько кон- фет было в пакете первоначально?
5. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фанти- ков, сколько у
них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване
столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько
фантиков было у каждого в начале?
6. Коля задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата.
Полученное число умножил на 7 и опять зачеркнул последнюю цифру результата. Получилось число 21.
Какое число было задумано?
7. По кругу записаны 9 чисел: нулей и единиц (есть и те, и другие). За один ход между каждыми
двумя соседними числами записывается число: 0, в случае если они равны, и 1 в противном случае.
Затем старые числа стираются, на доске снова остаётся 9 чисел. Затем такую операцию повторяют
несколько раз. Могут ли в какой-то момент все числа оказаться равными?
8. Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нем цифры
(запрещается лишь ставить ноль на первое место). Можно ли превра- тить число 1 в число 631 с
помощью таких операций?

Математика, 6 класс (ТМО) (11 июня 2020)
 Математическая интернет-карусель 6 классов прошла 11 июня 2020 с 13:00 до 15:00
в рамках июньского онлайн-турнира математических боев и математических игр
для команд Московской области. В ней приняли участие 132 команда, из которых 23
— участники указанного турнира.
Задания карусели
1. Сумма трех чисел равна 5. Известно, что первое число на 25 % меньше второго и на
3 больше третьего. Найдите второе число.
2. В верном равенстве одинаковыми буквами заменили одинаковые цифры, разными
— разные. Получили ребус ЭХА + ЭХ + ХА = 229. Какое число зашифровано как ЭХА?
3. На двух складах хранилось по 540 кг конфет. Каждый день с первого склада увозили
по 25 кг конфет, а со второго — по 15 кг. Через сколько дней масса конфет на втором
складе станет в 6 раз больше массы конфет на первом складе?
4. Натуральное число N при делении на 12 даёт остаток 2. Какой остаток при делении
на 12 даёт число 10N?
5. Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 45, у которых первая цифра отлича-
ется от второй на такое же число, как вторая от третьей.
6. Какой цифрой заканчивается значение выражения 7 + 7???? + 7???? + ⋯ + 7?????????
7. Квадрат 7 × 7 полностью покрыли непересекающимися прямоугольниками, границы
которых идут по сторонам клеток. Потом эти прямоугольники раскрасили в крас-
ный, зеленый и желтый цвет так, чтобы одноцветные прямоугольники не имели
даже общих углов. Какое могло быть максимальное количество прямоугольников?
8. У Ивана есть 100 монет номиналами в 1 и 5 копеек. При этом хотя бы одна монета
пятикопеечная, а из любых двух монет хотя бы одна — однокопеечная. Сколько
всего денег (в копейках) у Ивана?
9. Три газеты перед началом сезона сделали прогнозы, сколько голов забьет за сезон
лучший бомбардир команды «Ливер». Первая газета: «Больше 20». Вторая газета:
«Больше 28». Третья газета: «Больше 25». Оказалось, что только два прогноза из трех
оказались верны. Сколько голов он мог забить?
10. Библиотека открыта только по понедельникам, четвергам и нечетным числам ме-
сяца. Какое максимальное число дней подряд может быть открыта библиотека?
11. Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Счастливыми называются
билеты, у которых сумма первых трех цифр равна сумме последних трех цифр.
Несчастными будем называть билеты, в номерах которых содержатся ровно три
ЦДО ЦПМ (г. Москва)
Международные соревнования
«Интернет-карусели»
karusel.desc.ru стр. 4
шестерки, идущие подряд. Сколько билетов являются одновременно счастливыми
и несчастными?
12. Кондитер продает четыре вида пирожных: с карамелью, с орехами, с медом и с шо-
коладом. Количество пирожных без учета карамельных равно 162, без учета орехо-
вых — 158, без учета медовых — 150, а без учета шоколадных — 160. Сколько медо-
вых пирожных у кондитера?
13. Трёхзначное число N в 12 раз больше суммы своих цифр. Найдите все такие трех-
значные числа N.
14. На полянке грелись несколько зеленых и коричневых хамелеонов. После того, как
один коричневый хамелеон позеленел, зеленых и коричневых хамелеонов стало по-
ровну. Потом еще три коричневых хамелеона позеленели, и тогда зеленых хамелео-
нов стало вдвое больше, чем коричневых. Сколько всего хамелеонов было на по-
лянке?
15. Турист выехал из турбазы на байдарке против течения в 10 часов 15 минут с обяза-
тельством вернуться обратно не позднее 13 часов того же дня. Скорость течения —
1,4 км/ч, скорость байдарки в стоячей воде — 3 км/ч. На какое максимальное рассто-
яние в километрах турист может отплыть от турбазы, если через каждые 30 минут
гребли он 15 минут отдыхает, не причаливая к берегу, и может повернуть назад
только после отдыха?
16. Окрашенный снаружи куб распилили на 1000 одинаковых кубиков. Во сколько раз
количество неокрашенных граней у получившихся кубиков оказалось больше коли-
чества окрашенных?
17. В первом сосуде находилось 100 граммов 10 %-го раствора сиропа, во втором сосуде
— 200 граммов 20 %-го раствора этого же сиропа, и так далее, в десятом сосуде нахо-
дилось 1000 граммов 100 %-го раствора сиропа. Содержимое всех этих сосудов вы-
лили в один большой пустой сосуд. Сколько процентов составляет концентрация
раствора, полученного таким образом?
18. Миша написал на доске несократимую обыкновенную дробь, у которой сумма чис-
лителя и знаменателя равна 2019. Он отнял от числителя 1, от знаменателя отнял 2,
сократил дробь и получил 3/4. Чему был равен знаменатель изначальной дроби?
19. Дана клетчатая фигура, показанная на рисунке справа. Её нужно раз-
резать по линиям сетки на 4 равные части. Сколькими способами это
можно сделать? Способы считаются различными, если в результате
получаются разные фигурки.

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по математике.

Муниципальный этап. Московская область.

6 класс

(Время выполнения заданий – 3 часа.

│ Во всех задачах ответ нужно обосновать.)


6.1. В классе 30 учеников. На контрольной по математике некоторые ученики класса получили 5, некоторые – 4, некоторые – 3, некоторые – 2. Сумма полученных оценок оказалась равной 130.
А чему равнялась бы сумма полученных оценок, если бы все,
получившие 5, получили бы 2, получившие 4 – получили бы 3,
получившие 3 – получили бы 4, а получившие 2 – получили бы 5?
6.2. В ралли участвовало 6 машин. Они стартовали
одновременно. В каждый момент обгона одной машины другой
делалась фотография этих двух машин («тройных» обгонов не
было, момент старта обгоном не считается). Могло ли оказаться,
что первая машина оказалась ровно на 4 фотографиях, вторая – ровно на 5, третья – ровно на 6, четвертая– ровно на 7, пятая –
ровно на 8 и шестая – ровно на 9 фотографиях?
6.3. Пункты A, B, C, D расположены в вершинах
прямоугольника ABCD, его стороны – дороги. Первая машина
проехала за час по маршрутуA ® B ® С ® D, а вторая проехала за
час по маршруту A ® D ® С ®B. Через какое время машины
встретятся, если они одновременно выедут из пунктаAв разных
направлениях и поедут по сторонам прямоугольника ABCD?

(Скорости обеих машин постоянны).

6.4. Когда из семизначного

числа A вычли сумму всех, кроме одной, его цифр, получили число 1234515.
А какое число получится, если из A вычесть сумму всех его цифр, кромеꟷпервой?
6.5. Из 7 внешне одинаковых монет 2 фальшивые монеты –легче настоящих и весят
одинаково. Настоящие монеты также весят одинаково. Можно ли найти обе фальшивые
монеты за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь?

Задачи олимпиады "Курчатов"


Олимпиада «Курчатов» — 2014 Отборочный этап по математике 6‒7 классы

Задача 1. (2 балла) Найдите самое маленькое четырёхзначное число, которое делится на 9.

Задача 2. (3 балла) Незнайка каждый день досаждает соседям игрой на трубе в течение одного и то же
времени. С 10 по 21 апреля включительно он потратил на это всего 5 часов. А сколько всего часов он
досаждал игрой соседям в остальные дни апреля?

Задача 3. (5 баллов) Планета Рубик имеет форму куба с ребром 4000 км. Каналы идут по рёбрам куба и
по граням, так что вся суша разделена на одинаковые квадратные клетки, каждая со стороной 200 км.
Найдите общую длину каналов на планете (в километрах).

Задача 4. (5 баллов) В словах ДЕНЬ, НОЧЬ, СВЕТ, ТЕНЬ буквы заменены цифрами, причём одинаковые
буквы одинаковыми цифрами, а разные – разными. Получилось 4 числа, только, может быть, записанные в
другом порядке: 1834, 2014, 6014, 9506. А какое число получится при такой замене из слова ОТВЕТ?

Задача 5. (6 баллов) Рыбаки Петя и Вася поймали 3 рыбы: пескаря, сазана и карпа. Пескарь весит 120
г, сазан – 600 г. Петя разделил рыб между ними так, что ему досталось в полтора раз больше по весу.
Васе это не понравилось, и он разделил рыб по-другому, так что по весу каждый получил поровну.
Сколько граммов весит карп?

Задача 6. (6 баллов) Начав с одного из дней недели, Люда отмечает в названии каждого дня недели по
одной букве так, чтобы каждая следующая буква была дальше по алфавиту, чем предыдущая. Начав с
понедельника, ей удалось отметить всего 5 букв: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница. А с
какого дня недели она должна начать, чтобы отмечать буквы 8 дней подряд?

Задача 7. (7 баллов) Мама поставила кастрюлю под два крана. Если полностью открыть горячую воду,
кастрюля заполнится за 39 секунд. Если холодную – за 24 секунды. Мама открыла сначала горячую воду.
Через сколько секунд она должна открыть холодную, чтобы к моменту наполнения кастрюли туда налилось
горячей воды на треть больше, чем холодной?

Задача 8. (8 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса BL равна основанию BC. На
биссектрисе угла BAC взята такая точка K, что отрезки KC и BL пересекаются и равны.
Найдите величину угла между этими отрезками (в градусах).

Задача 9. (12 баллов) На плоскости нарисовано несколько прямых, никакие три не проходят через одну
точку. На каждой прямой лежит ровно 371 точка пересечения. Найдите общее число прямых, если
известно, что в его десятичной записи не все цифры разные.

Задача 10. (12 баллов) В чашке 90 мл, а в стакане – 210 мл смеси кофе с молоком; при этом объём
молока в чашке составляет 35% от объёма смеси, а в стакане – 53%. Часть смеси перелили из чашки в
стакан, перемешали, и отлили обратно в чашку так, что объёмы там и тут восстановились. После всех
переливаний процент кофе в каждом из сосудов по-прежнему целый. Каков стал процент молока в чашке?





Олимпиада «Курчатов» — 2014 Отборочный этап по математике 8‒9 классы

Задача 1. (2 балла) Найдите сумму 1-3+5-7+….-2011+2013.

Задача 2. (3 балла) Повар поставил кастрюлю под два крана. Если полностью открыть горячую воду,
кастрюля заполнится за 37 секунд. Если холодную – за 23 секунды. Повар открыл сначала горячую воду.
Через сколько секунд он должен открыть ещё и холодную, чтобы к моменту наполнения кастрюли туда
налилось холодной воды на треть меньше, чем горячей?

Задача 3. (5 баллов) Планета Рубик имеет форму куба с ребром 4000 км. В центре каждой грани есть
квадратное море со стороной 800 км и берегами, параллельными рёбрам, остальное суша. Каналы идут по
рёбрам куба и по граням, так что вся суша разделена каналами и берегами морей на одинаковые
квадратные клетки, каждая со стороной 200 км. Найдите общую длину каналов на планете (в
километрах).

Задача 4. (6 баллов) Чему равно минимальное значение выражения 4p + qr + stu + xyzv, где вместо
букв должны стоять цифры от 0 до 9 по одному разу каждая?

Задача 5. (8 баллов) К биссектрисе CL треугольника ABC провели перпендикуляр
в точке L. Он пересёк сторону AC в точке E. Найдите CE, если известно, что АC = 35, BC = 15.

Задача 6. (8 баллов) Рыбаки Петя и Вася поймали 3 рыбы: судака, налима и окуня. Судак весит
полкило, а налим – 3 с половиной килограмма. Петя разделил рыб между ними так, что Васе досталось
на 60% меньше по весу, чем ему. Васе это не понравилось, и он разделил рыб по- другому, так что
Пете досталось на 40% меньше, чем Васе. Сколько килограммов весит окунь?

Задача 7. (9 баллов) Если бы каждый из трёх сомножителей уменьшили на 1, их произведение
уменьшилось бы на 2. Если бы вместо этого каждый из трёх сомножителей уменьшили на 2, их
произведение уменьшилось бы на 4. На самом деле каждый из трёх сомножителей уменьшили на
3. На сколько уменьшилось произведение?

Задача 8. (12 баллов) На координатной плоскости построили несколько графиков квадратных трехчленов
вида y = x² + px + q. Плоскость разбилась на 111 частей. Каково наименьшее возможное число
графиков?

Задача 9. (14 баллов) По числовой прямой скачет блоха. Она стартует из точки между 0 и 1. Перед
каждым прыжком она смотрит на расстояние до ближайшего целого числа слева от неё, и прыгает вправо
на это расстояние. После 17-го прыжка блоха впервые попала на целое число – это оказалось число 15.
Из скольких точек блоха могла стартовать?

Задача 10. (14 баллов) На столе лежат 300 алмазов. Фома отделяет от них любую кучку (можно сделать
кучку и из всех оставшихся алмазов), а Ерёма, поглядев, выбирает, кому эта кучка достанется.
Делёжка заканчивается, когда поделены все алмазы. Однако, если кому-то досталось 11 кучек, то
делёжка заканчивается досрочно: тогда другой забирает все оставшиеся алмазы себе. Какое наибольшее
число алмазов может себе обеспечить Фома, как бы ни действовал Ерёма?





Олимпиада «Курчатов» — 2014 Отборочный этап по математике 10‒11 классы

Задача 1. (2 балла) Найдите сумму 1²-2²+3²-4²+…+99²–100².

Задача 2. (4 балла) Чему равно минимальное значение выражения pq + rs + vww + xyz, где вместо букв
должны стоять цифры от 0 до 9 по одному разу каждая?

Задача 3. (5 баллов) Бассейн заполняется из двух труб: одна с пресной водой, другая – с морской.
Если открыть кран с пресной водой, то бассейн заполнится за 210 минут. Если открыть обе крана – за
140 минут. Заполняя пустой бассейн, открыли сначала морскую воду, а через некоторое время – ещё и
пресную. Когда бассейн заполнился, солёность воды в нём стала 17%. Сколько минут прошло между
открытием первого и второго кранов, если солёность морской воды 35%?

Задача 4. (7 баллов) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ равны рёбра AD и AA’. На отрезке
A’C’ нашлась такая точка K, что BK=AD’ и прямая BK образует с прямыми AD’ и CD’ равные углы (см.
рис.). Найдите острый угол между прямыми BK и AC (в градусах).

Задача 5. (7 баллов) Рыбаки Петя и Вася поймали 3 рыбы: двух щук и леща. Щуки весят 3600 г и 4200
г. Петя разделил рыб между ними так, что ему досталось на 80% больше по весу, чем Васе. Васе это не
понравилось, и он разделил рыб по-другому, так что ему досталось на 40% больше, чем Пете. Сколько
граммов весит лещ?

Задача 6. (8 баллов) Если бы каждый из трёх сомножителей уменьшили на 1, их произведение
увеличилось бы на 1. Если бы вместо этого каждый из трёх сомножителей уменьшили на 2, их
произведение увеличилось бы на 2. На самом деле каждый из трёх сомножителей увеличили на 3. Найдите
разность между новым и старым произведением.

Задача 7. (8 баллов) В четырёхугольнике ABCD углы B и D – прямые, а BD=AB. Известно, что
AP=40, CP=15, где P – точка пересечения диагоналей. Найдите CD.

Задача 8. (10 баллов) На координатной плоскости построили несколько графиков квадратных трехчленов
вида y = x² + px + q. Плоскость разбилась на 2014 частей. Каково наименьшее возможное число
графиков?

Задача 9. (12 баллов) По числовой прямой скачет блоха. Она стартует из точки между 10 и 11. Перед
каждым прыжком она смотрит на расстояние до ближайшего целого числа слева от неё, и прыгает вправо
на это расстояние. После 14-го прыжка блоха впервые попала на целое число – это оказалось число 20.
Из скольких точек блоха могла стартовать?

Задача 10. (15 баллов) Есть 4096 одинаковых синих кубиков. Фома хочет из них всех сложить
прямоугольный параллелепипед, синий снаружи. Какое наименьшее число граней кубиков должен Ерёма
покрасить в другой цвет, чтобы помешать Фоме?

Всероссийская олимпиада школьников по математике
2018–2019 уч. г.
Школьный этап

6 класс
Задача 1. Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб - прибавлять 3, Саша - делить на 4, Андрей -
вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить
из числа 8 число 30?
Задача 2. Разрежьте приведённую ниже фигуру на три части так, чтобы из этих частей можно было
сложить квадрат 6 × 6.
Резать можно только по линиям сетки. Части могут получиться разными.
Задача 3. На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.
Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: <Среди остальных пятерых ровно четыре
лжеца!>. Сколько рыцарей могло среди них быть?
Задача 4. Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала ря- дом такое же число, но
перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила
четырёхзначную сумму, первые три цифры которой - 195. Какова последняя цифра этой суммы? (Ответ
нужно обосновать.)
Задача 5. Вася и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они
поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков
дороги нет). Вася посчитал, что до Пети он идёт 2 часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут. Какое
расстояние между домами Васи и Пети?

Письменная олимпиада.
За полное решение каждой задачи даётся 4 балла.

 «» –   
Отборочный интернет-этап 6––7 классы

1. Числа от 1 до 100 выписали подряд без пробелов. Получилось многозначное число 1234 . . .
9899100. Найдите сумму цифр этого числа. [2 балла]
2. Лев, тигр и гепард тренируются в беге на дистанции 1200 м. Лев и гепард стартовали с одного
конца, а тигр одновременно стартовал им навстречу с другого конца дистанции. В момент встречи льва
и тигра гепард пробежал всю дистанцию и оказался на расстоянии 300 м от льва. А сколько метров было
между львом и гепардом в момент встречи тигра с гепардом? [4 балла]
3. Большой клетчатый прямоугольник разрезали на 4 меньших прямоугольни- ка двумя перпендикулярными
разрезами, идущими по сторонам клеток. Одна из частей состоит из 12 клеток, другая – из 15, третья
– из 44. Из какого ко- личества клеток состоит большой прямоугольник? [5 баллов]
4. Петя отметил на прямой точку, разбив эту прямую на два луча. Из этой точки Петя провел ещё два
луча по одну сторону прямой так, что они образовали между собой угол 40◦. Для каждой пары из
четырёх лучей Петя измерил угол между ними. Кроме угла 180◦ получилось ещё 5 разных углов. Петя
сложил наибольший из тупых углов с наибольшим из острых, получив в сумме 216◦. Найдите величину
наибольшего из острых углов (в градусах). [6 баллов]
5. Ткачиха с поварихой готовили пир. У каждой из них по коробу, в которых одинаковое число конфет.
Ткачиха разложила конфеты из своего короба на 16 блюдец поровну, а остаток – меньше 16 – положила
себе в карман. Пова- риха разложила конфеты из своего короба на другие 17 блюдец поровну, а остаток
– меньше 17 – положила себе в карман. После того, как повариха по- ложила себе в карман ещё и все
конфеты с одного блюдца ткачихи, у неё в кармане стало 60 конфет. Сколько конфет в кармане ткачихи?
[7 баллов]
6. За круглым столом сидят 160 знакомых: алхимики (всегда лгут) и химики (всегда говорят правду).
Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Алхимик ли ваш левый сосед?». Ответов «нет» оказалось
столько же, сколько химиков (но вовсе не обязательно, что «нет» говорили только химики). Какое
наимень- шее число химиков может сидеть за этим столом? [9 баллов]










































http://olimpiadakurchatov.ru



 «» –   
Отборочный интернет-этап 8––9 классы

1. Числа от 1 до N выписали подряд без пробелов. Получилось 2016-значное число 1234567891011 . . .
Найдите N. [3 балла]
2. Серединный перпендикуляр к биссектрисе AL треугольника ABC пересек стороны AB и AC в точках D и
E соответственно. Известно, что BD =45, CE =20. Найдите AB + AC. [4
балла]
3. Лев, тигр и гепард тренируются в беге на дистанции 1000 м. Тигр и ге- пард стартовали с одного
конца, а лев одновременно стартовал им навстречу с другого конца дистанции. До встречи льва и
гепарда лев успел пробежать
на 20 % меньше, чем тигр после этой встречи. В момент, когда лев пробежал
300 м, гепард ещё не закончил дистанцию. Сколько метров было между тигром
и гепардом в этот момент? [5 баллов]
4. Петя провел в правильном 45-угольнике ABCDEFG . . . диагональ AD. Для каждой диагонали,
пересекающей AD, Петя вычислил наименьший угол, под которым эта диагональ пересекает AD. Найдите
градусную меру суммы всех этих углов. [6 баллов]
5. Ткачиха с поварихой готовили пир. У каждой из них по коробу, в которых одинаковое число конфет.
Ткачиха разложила конфеты из своего короба на 8 блюдец поровну, а остаток – меньше 8 – положила
себе в карман. Повари- ха разложила часть конфет из своего короба на другие 9 блюдец поровну, а
остальные (их было больше 9) – положила себе в карман. После того, как по- вариха положила себе в
карман ещё и все конфеты с одного блюдца ткачихи, у неё в кармане стало 60 конфет. Сколько конфет в
кармане ткачихи? [7 баллов]
6. За круглым столом сидят 100 участников конференции. Они делятся на два типа: политики (всегда
лгут) и учёные (всегда говорят правду). Все знают, кто есть кто. Каждый ответил «да» или «нет» на
вопрос «Политик ли ваш левый сосед?». Ответов «нет» оказалось ровно в 3 раза меньше, чем учёных за
столом. Какое наибольшее число политиков могло сидеть за этим столом? [7 баллов]












































http://olimpiadakurchatov.ru



 «» –   
Отборочный интернет-этап 10––11 классы

1. Точки G, F, E, D – соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке).
Известно, что ∠GFD = 144◦. Сколько вершин у этого много- угольника?
[2 балла]
2. Натуральные числа от 1, 2, 3, … выписывали подряд без пробелов, пока в полученной строке
1234567891011121314 . . . не встретилась четвёрка цифр
. . . 2016 . . . На каком месте от начала строки стоит цифра 6 из этой четвёрки?
[4 балла]
3. Дан квадратный трёхчлен ax² + bx + c, где коэффициенты a, b и c – положи- тельны, а трёхчлен
имеет два различных корня. По этому трёхчлену строится новый трёхчлен по такому правилу: каждый
коэффициент заменяется на про- изведение двух других коэффициентов (например, из трёхчлена 2x² + 5x
+ 3 получается трёхчлен 15x² + 6x + 10). Затем то же делается с полученным трёх- членом и так
далее, пока не будет получено 2016 трёхчленов, включая исход- ный. У скольких из полученных
трёхчленов нет действительных корней?
[5 баллов]
4. Ткачиха с поварихой готовили пир. У каждой из них по коробу, в которых одинаковое число конфет.
Ткачиха разложила конфеты из своего короба на 10 блюдец поровну, а остаток – меньше 10 – положила
себе в карман. Пова- риха разложила часть конфет из своего короба на другие 11 блюдец поровну, а
остальные (их было больше 11) – положила себе в карман. После того, как по- вариха положила себе в
карман ещё и все конфеты с одного блюдца ткачихи, у неё в кармане стало 60 конфет. Сколько конфет в
кармане ткачихи?
[5 баллов]
5. За круглым столом сидят 111 участников конференции. Они делятся на два типа: политики (всегда
лгут) и учёные (всегда говорят правду). Все знают, кто есть кто. Каждый ответил «да» или «нет» на
вопрос «Политик ли ваш левый сосед?». Ответов «нет» оказалось ровно в 3 раза меньше, чем учёных за
столом. Какое наименьшее число учёных могло сидеть за этим столом? [7 баллов]
6. В единичный куб вписаны две шестиугольные пирамиды, чьи основания совпадают с сечением куба
соответствующей плоскостью основания. Вершина первой пирамиды – точка A, второй – точка C, где ABCD
– грань куба. Все боковые ребра первой пирамиды имеют длину m, боковые ребра второй – длину n, где
1,2 < n < m < 1,4. Найдите число вершин многогранника, который является пересечением этих пирамид.
[9 баллов]












































http://olimpiadakurchatov.ru

 «» –   
Финальный этап, 29 марта 2015 года 6 класс

1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при выписывании его цифр в
обратном порядке (например, числа 4, 55, 626 – палиндромы, а 20, 201, 2015 – нет). Представьте
число 2000 двумя способами в виде суммы двух палиндромов.
2. Пятерых детей выстроили в шеренгу и раздали им 40 конфет. У детей, сто- ящих слева от Данила –
35 конфет, справа от Люды – 23, слева от Максима – 30, справа от Саши – 32 конфеты. Пятого ребенка
зовут Валя. Сколько конфет может быть у неё? (Ответ объясните.)
3. В шестизначном числе первую и последнюю цифру заменили звёздочками
*2015*. Известно, что число делится на 72. Восстановите число.
4. Склеенный из двух единичных кубиков прямоугольный брусок 1 × 1 × 2 пе- рекатывают (через ребра)
по клетчатой доске 20 × 15. Можно ли прокатить его так, чтобы каждую клетку брусок покрыл ровно
один раз? (Нельзя выходить за границы доски.)
5. Два мальчика живут в селах, между которыми по прямой трассе 90 км, а их тётя – ровно посередине
между ними. Тётя пригласил мальчиков в гости. У неё есть мопед, скорость которого 40 км/ч, а с
пассажиром – всего 30 км/ч. Все стартуют одновременно: ребята выходят пешком со скоростью 5 км/ч, а
тётя выезжает на мопеде, по очереди подбирает мальчиков на трассе и подвозит их. Как им всем
собраться у тёти не позднее, чем через 4 часа после старта?









































http://olimpiadakurchatov.ru



 «» –   
Финальный этап, 29 марта 2015 года 7 класс

1. Пятерых детей выстроили в шеренгу и раздали им 111 конфет. У детей, сто- ящих слева от Данила –
96 конфет, справа от Люды – 57, слева от Максима – 69, справа от Саши – 75 конфет. Пятого ребенка
зовут Валя. Как зовут того, кому досталось больше всего конфет, и сколько у него конфет?
2. Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеток на две фигуры одинакового
периметра так, чтобы в одной фигуре клеток было ровно в 4 раза больше, чем в другой?
3. Ученику дано число x, записанное как обыкновенная дробь со знаменате- лем 7. Он вычислил три
новых числа 2x, 3x и 4x. Каждое из трех новых чисел ученик округлил до ближайшего целого и
результаты сложил. Получилось 100. Найдите x. (Число округляется в меньшую сторону, если его
дробная часть меньше 1/2, и в большую, если дробная часть больше либо равна 1/2.)
4. В прямоугольном треугольнике ABC провели биссектрису AL и отметили на гипотенузе AB такую точку
K, что AB = 3BK. Оказалось, что угол ALK – прямой. Докажите, что AL = BL.
5. Вначале на каждой клетке шахматной доски 8 × 8 стоит по одной шашке – они считаются столбиками
из одной шашки (а в процессе игры будут образо- вываться столбики и из нескольких шашек). За один
ход разрешается переста- вить любой столбик ходом ферзя: по вертикали, горизонтали или диагонали на
столько клеток сколько в нем шашек (то есть, столбик из одной шашки хо- дит на соседнюю клетку, из
двух шашек – прыгает через клетку и т.п.). Если столбик попал на непустую клетку, он ставится на
верх стоящего там столби- ка и объединяется с ним. Можно ли за 63 хода собрать все шашки на одной
клетке?










































http://olimpiadakurchatov.ru



 «» –   
Финальный этап, 29 марта 2015 года 8 класс

1. Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеток на две фигуры одинакового
периметра так, чтобы в одной фигуре клеток было ровно в 8 раз больше, чем в другой?
2. Делитель натурального числа называется собственным, если он не равен са- мому числу и 1. Найдите
все такие натуральные числа, у которых самый боль- шой собственный делитель на 5 больше куба самого
маленького собственного натуральный делителя.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD провели серединные перпендикуляры к сторонам AB, BC и CD.
Внутри четырехугольника эти перпендикуляры не пересеклись. Точки пересечения этих перпендикуляров
разбили сторону AD на 4 равные части. Докажите, что AD ∥ BC.
4. Ученику дано число x, записанное как обыкновенная дробь с однозначным знаменателем. Он вычислил
три новых числа 2x, 4x и 5x (все они оказались не целыми и не полуцелыми). Каждое из трех новых
чисел ученик округлил до ближайшего целого и результаты сложил. Получилось 120. Найдите x. (Чис- ло
округляется в меньшую сторону, если его дробная часть меньше 1/2, и в большую, если дробная часть
больше либо равна 1/2.)
5. Вначале на каждой клетке шахматной доски 8 × 8 стоит по одной шаш- ке – они считаются столбиками
из одной шашки (а в процессе игры будут образовываться столбики и из нескольких шашек). За один ход
разрешается переставить любой столбик ходом ладьи: по вертикали или горизонтали на столько клеток
сколько в нем шашек (то есть, столбик из одной шашки ходит на соседнюю клетку, из двух шашек –
прыгает через клетку и т.п.). Если стол- бик попал на непустую клетку, он ставится на верх стоящего
там столбика и объединяется с ним. Можно ли за 63 хода собрать все шашки на одной клетке?










































http://olimpiadakurchatov.ru



 «» –   
Финальный этап, 29 марта 2015 года 9 класс

1. Делитель натурального числа называется собственным, если он не равен самому числу и 1. Найдите
все такие натуральные числа, у которых самый большой собственный делитель отличается на 3 (в ту или
другую сторону) от куба самого маленького собственного делителя.
2. Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеток на две фигуры одинакового
периметра так, чтобы в одной фигуре клеток было ровно в 8,5 раз больше, чем в другой?
3. Ученику дано число x, записанное как обыкновенная дробь с однозначным знаменателем. Он вычислил
три новых числа 5x, 7x и 9x (все они оказались не целыми). Каждое из трех новых чисел ученик
округлил до ближайшего целого и результаты сложил. Получилось 50. Найдите x. (Число округляется в
мень- шую сторону, если его дробная часть меньше 1/2, и в большую, если дробная часть больше либо
равна 1/2.)
4. На медиане CM треугольника ABC выбрана такая точка D, что 2CD = 1 AB.




















Прямая BD пересекает сторону AC в точке E. Докажите, что если DE =
угол BMC = 120◦.




















2C , то
E
























5. Вначале на каждой клетке шахматной доски 8 × 8 стоит по одной шаш- ке – они считаются столбиками
из одной шашки (а в процессе игры будут образовываться столбики и из нескольких шашек). За один ход
разрешается переставить любой столбик ходом ладьи: по вертикали или горизонтали на столько клеток
сколько в нем шашек (то есть, столбик из одной шашки ходит на соседнюю клетку, из двух шашек –
прыгает через клетку и т.п.). Если стол- бик попал на непустую клетку, он ставится на верх стоящего
там столбика и объединяется с ним. Можно ли за 63 хода собрать все шашки на одной клетке?










































http://olimpiadakurchatov.ru



 «» –   
Финальный этап, 29 марта 2015 года 10 класс

1. Ученику дано число x: это обыкновенная дробь со знаменателем 9. Ученик вычислил три новых числа
2x, 4x и 5x, каждое из этих трёх чисел округлил до ближайшего целого и результаты округлений
сложил. Получилось 111. Найдите
x. (Число округляется в меньшую сторону, если его дробная часть меньше 1/2, и в большую, если
дробная часть больше либо равна 1/2.)
2. f (x) = x³ − 4x, g(x) = x³ − 4x² + 1. Докажите, что при любом a> 0 многочлен
af + g имеет не менее трёх различных корней.
3. Митя сложил все нечётные натуральные делители некоторого чётного числа N (включая единицу), а
Ваня сложил все чётные натуральные делители числа N (включая само число). Затем Ванину сумму
умножили на Митину. Может ли произведение быть квадратом натурального числа?

5. Вначале на каждой клетке доски 100 × 100 стоит по одной шашке – они счи- таются столбиками из
одной шашки (а в процессе игры будут образовываться столбики и из нескольких шашек). За один ход
разрешается переставить лю- бой столбик ходом ладьи: по вертикали или горизонтали на столько
клеток, сколько в нем шашек (то есть, столбик из одной шашки ходит на соседнюю клетку, из двух
шашек – прыгает через клетку и т.п.). Если столбик попал на непустую клетку, он ставится на верх
стоящего там столбика и объединяется с ним. Можно ли за 9999 ходов собрать все шашки на одной
клетке?
http://olimpiadakurchatov.ru
 «» –   
Финальный этап, 29 марта 2015 года 11 класс

1. Ученику дано число x: это обыкновенная дробь со знаменателем 9. Ученик вычислил три новых числа
2x, 4x и 5x, каждое из этих трёх чисел округлил до ближайшего целого и результаты округлений
сложил. Получилось 120. Найди- те x. (Число округляется в меньшую сторону, если его дробная часть
меньше 1/2, и в большую, если дробная часть больше либо равна 1/2.)
2. f (x) = x³ − 9x, g(x) = x³ − 5x² + 1. Докажите, что если b > 0, то у многочлена
f + bg есть не менее 3 различных действительных корней.
3. Митя сложил все нечётные натуральные делители некоторого чётного числа N (включая единицу), а
Ваня сложил все чётные натуральные делители числа N (включая само число). Затем Ванину сумму
умножили на Митину. Может ли произведение быть квадратом натурального числа?
4. ABCD – вписанный четырёхугольник, AB > CD, BC > AD. На сторонах AB и BC отмечены точки X и Y
так, что AX = CD и AD = CY . M – середина XY . Докажите, что угол AMC – прямой.
5. Вначале на каждой клетке доски 100 × 100 стоит по одной шашке – они счи- таются столбиками из
одной шашки (а в процессе игры будут образовываться столбики и из нескольких шашек). За один ход
разрешается переставить лю- бой столбик ходом ладьи: по вертикали или горизонтали на столько
клеток, сколько в нем шашек (то есть, столбик из одной шашки ходит на соседнюю клетку, из двух
шашек – прыгает через клетку и т.п.). Если столбик попал на непустую клетку, он ставится на верх
стоящего там столбика и объединяется с ним. Можно ли за 9999 ходов собрать все шашки на одной
клетке?
6. Для приготовления картофельного пюре повару Коле надо как можно быст- рее получить заданный
объём очищенной картошки. Не заботясь об экономии очисток, он из шарообразных картофелин вырезает
кубики, каждым взмахом ножа очищая по одной грани. Может ли он справиться с заданием быстрее при
той же частоте взмахов ножа, если будет вырезать какие-нибудь другие много- гранники? (Формально:
верно ли, что из всех многогранников, вырезаемых из данного шара, наибольшее отношение объема к
числу граней – у вписанного куба?)
http://olimpiadakurchatov.ru